Chọn C

Ta có y ' = 3 x 2 - 6 x + 3 m .  Hàm số có hai điểm cực trị <=> y’=0 có hai nghiệm phân biệt

<=> Δ ' = 3 2 - 3 . 3 m > 0  <=> m < 1 (*)

Chia y cho y’ ta được:

Giả sử x 1 ,   x 2  là hai nghiệm phân biệt của y’=0

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị có dạng (d) : y= (2m-2)x+1

(d) có vectơ pháp tuyến là n1→ = (2m - 2; -1)

(Δ) : 3x+y-8=0 có vectơ pháp tuyến là n2→(3; 1)

Vì góc giữa đường thẳng (d) và (Δ) là 45o nên

Đối chiếu điều kiện (*) có  m   =   3 4

1.

\(f'\left(x\right)=3x^2-6mx+3\left(2m-1\right)\)

\(f'\left(x\right)-6x=3x^2-3.2\left(m+1\right)x+3\left(2m-1\right)>0\)

\(\Leftrightarrow x^2-2\left(m+1\right)x+2m-1>0\)

\(\Leftrightarrow x^2-2x-1>2m\left(x-1\right)\)

Do \(x>2\Rightarrow x-1>0\) nên BPT tương đương:

\(\dfrac{x^2-2x-1}{x-1}>2m\Leftrightarrow\dfrac{\left(x-1\right)^2-2}{x-1}>2m\)

Đặt \(t=x-1>1\Rightarrow\dfrac{t^2-2}{t}>2m\Leftrightarrow f\left(t\right)=t-\dfrac{2}{t}>2m\)

Xét hàm \(f\left(t\right)\) với \(t>1\) : \(f'\left(t\right)=1+\dfrac{2}{t^2}>0\) ; \(\forall t\Rightarrow f\left(t\right)\) đồng biến

\(\Rightarrow f\left(t\right)>f\left(1\right)=-1\Rightarrow\) BPT đúng với mọi \(t>1\) khi \(2m< -1\Rightarrow m< -\dfrac{1}{2}\)

2.

Thay \(x=0\) vào giả thiết:

\(f^3\left(2\right)-2f^2\left(2\right)=0\Leftrightarrow f^2\left(2\right)\left[f\left(2\right)-2\right]=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}f\left(2\right)=0\\f\left(2\right)=2\end{matrix}\right.\)

Đạo hàm 2 vế giả thiết:

\(-3f^2\left(2-x\right).f'\left(2-x\right)-12f\left(2+3x\right).f'\left(2+3x\right)+2x.g\left(x\right)+x^2.g'\left(x\right)+36=0\) (1)

Thế \(x=0\) vào (1) ta được:

\(-3f^2\left(2\right).f'\left(2\right)-12f\left(2\right).f'\left(2\right)+36=0\)

\(\Leftrightarrow f^2\left(2\right).f'\left(2\right)+4f\left(2\right).f'\left(2\right)-12=0\) (2)

Với \(f\left(2\right)=0\)  thế vào (2) \(\Rightarrow-12=0\) ko thỏa mãn (loại)

\(\Rightarrow f\left(2\right)=2\)

Thế vào (2):

\(4f'\left(2\right)+8f'\left(2\right)-12=0\Leftrightarrow f'\left(2\right)=1\)

\(\Rightarrow A=3.2+4.1\)

3.

Đặt \(g\left(x\right)=f\left(x\right)-f\left(2x\right)\)

\(\Rightarrow g'\left(x\right)=f'\left(x\right)-2f'\left(2x\right)\) 

Thay \(x=1\Rightarrow18=f'\left(1\right)-2f'\left(2\right)\) (1)

Thay \(x=2\Rightarrow2000=f'\left(2\right)-2f'\left(4\right)\Rightarrow4000=2f'\left(2\right)-4f'\left(4\right)\) (2)

Cộng vế (1) và (2):

\(f'\left(1\right)-4f'\left(4\right)=4018\)

Đặt \(h\left(x\right)=f\left(x\right)-f\left(4x\right)\Rightarrow h'\left(x\right)=f'\left(x\right)-4f'\left(4x\right)\)

Thay \(x=1\Rightarrow h'\left(1\right)=f'\left(1\right)-4f'\left(4\right)=4018\)

+ Ta có đạo hàm : y= 3x²- 3 và y’ =0 khi và chỉ khi x= 1 hoặc x= -1 .       

+ Hàm số đồng biến trên khoảng ( 1; + ∞) .

+ Trên  D= [m+1; m+ 2], với m> 0  ,

ta có :   M i n [ m + 1 ; m + 2 ]   y   =   ( m + 1 ) 3   - 3 ( m + 1 )   + 1

Ycbt min y< 3 hay m³+ 3m²-4< 0

 Suy  ra ( m-1) (m+ 2) ²) < 0

Khi đó; m< 1 và m≠- 2  ­­­

+ Kết hợp điều kiện ­. Suy ra: 0< m< 1.

Chọn A.

ai làm có thưởng 2điem

Ta có  y’= 3x²-6x+3m

Yêu cầu bài toán khi y’=0 có hai nghiệm phân biệt x₁<x₂<2

Chọn D.

Chọn B

Xét  y = x 3 - 3 m x 2 + ( 3 m 2 - 3 ) x - m 2

Ta có:  y ' = 3 2 - 6 m x + 3 m 2 - 3 , y ' ' = 6 x - 6 m

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x = 0 khi

\(y=\dfrac{x^2+mx+1}{x+m}=x+\dfrac{1}{x+m}\)

\(\left\{{}\begin{matrix}y'\left(2\right)=0\\y''\left(2\right)< 0\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}1-\dfrac{1}{\left(2+m\right)^2}=0\\\dfrac{2}{\left(m+2\right)^3}< 0\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=-3\\m< -2\end{matrix}\right.\)

Chọn a

Chọn A

Phương pháp tự luận]

y ' = 6 x 2 + 6 ( m - 3 ) x

Hàm số có 2 cực trị  ⇔ m ≠ 3

Khi đó đồ thị hàm số đã cho có 2 điểm cực trị A(0;11-3m)

Phương trình đt AB:  ( 3 - m ) 2 x + y - 11 + 3 m = 0